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=
是中学阶段一个重要的函数，已经成为高考的高频考点。本文简单的研究它的极值点判别式与韦达定理，首先看三次函数的定义，形如
的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）
的图像与其导函数：
的判别式
=
有如下关系：
图象
>0
0
>0
0
决定导函数的正负，在此称
为三次函数的极值点判别式。（1）如果
，则三次函数在R上为单调函数，无极值点，（a>0时，单调递增函数，当a<0时，单调递减函数）（2）
>0,三次函数有两个极值点。下面看几个例题
.是否存在实数
，使得
是
上的单调函数？若存在,求出
的值；若不存在，说明理由.
0即可，但是此题
，
，使得
是
上的单调函数.
在
（-
，+
）为单调函数，求m的取值范围。
0即可，
得
在R上是减函数，求实数a得取值范围
在R上是减函数，则a<0且
0，即
得 
没有极值，则实数的取值范围是（ ）
,3)
(3,+
) D(-
,0]
[3,+
) 
没有极值，所以只需判别式
0即
，解得
，所以选A答案
，∠C所对的边分别为a，b，c，函数
有极值点，则角∠B的取值范围是（ ）
) B(0,
] C[
,
) D(
,
)
有极值点，则
，即
,故选D答案
（a
）的图像与其导函数，
，如果其三次函数的新判别式
，导函数有两个极值点，
时，三次函数的图象呈“N”字形；
时，三次函数的图象呈“倒N”字形.
时，函数图象左“峰”右“谷”：
；
时，函数图象左“谷”右“峰”：
.
>0,两极值点关系：
时，函数图象左“峰”右“谷”：图象呈“N”字形；导函数的小根为极大值点，大根为极小值点，且
，
时，函数图象左“谷”右“峰”：图象呈“倒N”字形导函数的小根为极小值点，大根为极大值点且
，
，
.
的两个极值点为
，且
，求实数
的值；
=
，a=9
中，
为函数
的极值点，则
的值（ ）
，又有等比数列的角标性质
，
，
，故选C
仅一个零点，则
的取值范围为（ ）
B. 
D. 
且
，所以它的图像是正N型，
，
，则只需极大值小于0或极小值大于0即可，f(0)=a<0或f(1)=a-
>0,得a<0或a>
,故选C，类似例题很多，这里就不在一一列出了。